Вверх

Обобщенный закон Гука

Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы. Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями clip image002 1 Обобщенный закон Гука, clip image004 1 Обобщенный закон Гука (4.12) Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14). clip image001 Обобщенный закон ГукаРассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.

Рис.4.14

Применяя принцип суперпозиции, объемное напряженное состояние изобразим как сумму трех линейных напряженных состояний (рис. 4.15). В этом случае деформацию по направлению первого главного напряжения s1 можно записать clip image009 Обобщенный закон Гука, где , clip image007 Обобщенный закон Гука, clip image009 Обобщенный закон Гука – относительные удлинения в clip image010 Обобщенный закон Гука

направлении s1, вызванные соответственно действием только Рис. 4.15 напряжениями s1, s2, s3. Поскольку clip image007 Обобщенный закон Гука является для напряжения s1 продольной деформацией, а clip image009 Обобщенный закон Гука, clip image007 Обобщенный закон Гука – поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует: clip image013 Обобщенный закон Гука, clip image015 Обобщенный закон Гука, clip image017 Обобщенный закон Гука. (4.13) Складывая эти величины, получим clip image019 Обобщенный закон Гука. Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате clip image021 Обобщенный закон Гука clip image025 Обобщенный закон Гука (4.14) . Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т. е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния.

Например, clip image027 Обобщенный закон Гука: clip image029 Обобщенный закон Гука clip image031 Обобщенный закон Гука clip image033 Обобщенный закон Гука Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям. При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем исходить из условия, что угловые деформации не зависят от нормальных напряжения, а ли-нейные деформации не зависят от касательных напряжений. В этом случае относительное удлинение по направлению оси х будет обусловлено напряжением σх и равно clip image035 Обобщенный закон Гука. Напряжениям clip image037 Обобщенный закон Гука в этом направлении будут соответствовать удлинения clip image039 Обобщенный закон Гука и clip image041 Обобщенный закон Гука.По аналогии получим такие же выражения для clip image041 Обобщенный закон Гука и clip image041 Обобщенный закон Гука.

Таким образом, clip image047 Обобщенный закон Гука clip image049 Обобщенный закон Гука (4.15) clip image0051 Обобщенный закон Гука. Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями clip image053 Обобщенный закон Гука clip image055 Обобщенный закон Гука clip image057 Обобщенный закон Гука (4.16) Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называется деформированным состоянием в точке. Наряду с линейной и угловой деформацией в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда и объёмную деформацию, т.е., относительное изменение объема в точке. Линейные размеры ребер элементарного параллелепипеда clip image059 Обобщенный закон Гука в результате деформации меняются и становятся равными clip image061 Обобщенный закон Гука. Абсолютное приращение объёма определится разностью clip image063 Обобщенный закон Гукаclip image065 Обобщенный закон Гукаclip image067 Обобщенный закон Гука. Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций, как величинами второго порядка малости, получим clip image061 Обобщенный закон Гука. Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения еclip image0071 Обобщенный закон Гукаclip image073 Обобщенный закон Гука. Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим eclip image075 Обобщенный закон Гука (4.17) Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.