Вверх

Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии

Задание:

1) построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии;

2) используя результаты пункта 1, обосновать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Записать выражение соответствующего теоретического распределения;

3) вычислить для всех интервалов значений X соответствующие вероятности и теоретические частоты, используя критерий Пирсона (с уровнем значимости α = 0,1). Проверить обоснованную выше гипотезу;

4) в предположении, что выборка извлечена из нормально распределенной генеральной совокупности, найти доверительный интервал, заключающий генеральную среднюю признака с надежностью γ = 0,98.

Решение:

1) Объем выборки image 3 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Величины всех интервалов одинаковы и равны h = 2 . Для построения гистограммы частот составим таблицу. image 4 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Гистограмма частот имеет следующий вид: image 5 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Несмещенные оценки генеральной средней B x и генеральной дисперсии s2 случайной величины Х найдем по формулам: image 6 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии , где где xi – середина i-го интервала; m = 7. Подставив данные из последней таблицы в расчетные формулы, получим: image 7 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Определим также среднеее квадратическое отклонение s случайной величины Х по формуле: image 8 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии 2) Рассмотрение полученной гистограммы частот позволяет предположить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Выражение плотности соответствующего теоретического распределения имеет вид image 14 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии 3) Проверить предложенную выше гипотезу о нормальности распределения, используя критерий Пирсона (с уровнем значимости α = 0,1). Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины X в интервалы  image 15 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии  используем функцию Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения: image 16 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии и, соответствующая первому интервалу теоретическая частота 200 0,0326 6,515 1 np = ⋅ = и т.д. Для определения расчетной статистики image 17 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии удобно составить таблицу: image 18 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Итак, расчетное значение статистики image 19 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии = 2,254. Поскольку число интервалов m = 7, а нормальный закон распределения определяется S = 2 параметрами, то число степеней свободы k = m − S −1 = 7 − 2 −1 = 4 . Соответствующие верхнее и нижнее критические значения статистики определим из статистической таблицы: image 17 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Т.к.  image 18 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии , гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе с параметрами a = 8,03 ; s = 2,867 согласуется с опытными данными. 4) Доверительный интервал для генеральной средней равен image 19 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Подставив исходные данные, получим: image 18 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии Отсюда доверительный интервал, заключающий генеральную среднюю признака с надежностью γ = 0,98, равен image 19 Построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии