Обобщенный закон Гука

Автор
MoscowStud
Опубликовано
11.03.2021
Обновлено
10.11.2021

Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы. Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями , (4.12) Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14). Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.


Рис.4.14

Применяя принцип суперпозиции, объемное напряженное состояние изобразим как сумму трех линейных напряженных состояний (рис. 4.15). В этом случае деформацию по направлению первого главного напряжения s1 можно записать , где , , — относительные удлинения в

направлении s1, вызванные соответственно действием только Рис. 4.15 напряжениями s1, s2, s3. Поскольку  является для напряжения s1 продольной деформацией, а , — поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует: , , . (4.13) Складывая эти величины, получим . Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате (4.14) . Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т. е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния.

Например, :  Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям. При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем исходить из условия, что угловые деформации не зависят от нормальных напряжения, а ли-нейные деформации не зависят от касательных напряжений. В этом случае относительное удлинение по направлению оси х будет обусловлено напряжением σх и равно . Напряжениям в этом направлении будут соответствовать удлинения и .По аналогии получим такие же выражения для и .

Таким образом, (4.15) . Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями (4.16) Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называется деформированным состоянием в точке. Наряду с линейной и угловой деформацией в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда и объёмную деформацию, т.е., относительное изменение объема в точке. Линейные размеры ребер элементарного параллелепипеда в результате деформации меняются и становятся равными . Абсолютное приращение объёма определится разностью . Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций, как величинами второго порядка малости, получим . Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения е. Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим e (4.17) Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.

Отзывы наших студентов

Оставьте свой отзыв