-
Главная
-
Полезные советы
-
Движение материальной точки в динамике.
Движение материальной точки в динамике.
Колебательное движение материальной точки. Восстанавливающая сила (сила упругости) F
x= – cx, сила стремится вернуть точку в равновесное положение, "с" – коэффициент жесткости пружины = силе упругости при деформации, равной единице [Н/м].
Свободные колебания.
; обозначив c/m=k
2, получаем
– линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение: z
2 + k
2= 0, его корни мнимые, Þ общее решение дифференциального уравнения будет x= C
1coskt + C
2sinkt, C
1,C
2 – постоянные интегрирования. Для их определения находим уравнение скоростей:
= – kC
1sinkt + kC
2coskt, подставляем начальные условия в уравнения для х и
![clip_image006[1]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0061_thumb.gif "clip_image006[1]")
, откуда С
1= х
0, С
2=
/k, т.е. x= х
0coskt + (
![clip_image008[1]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0081_thumb.gif "clip_image008[1]")
/k)sinkt.
Можно обозначить С
1=Аsinb, C
2=Acosb Þ x=Asin(kt+b) – уравнение гармонических колебаний. А=
–амплитуда, tgb=kx
0/
![clip_image008[2]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0082_thumb.gif "clip_image008[2]")
, b – начальная фаза свободных колебаний;
– циклическая частота (угловая, собственная) колебаний; период: Т=2p/k=2p
, k и Т не зависят от начальных условий – изохронность колебаний; амплитуда и начальная фаза зависят о начальных условий. Под действием постоянной силы Р происходит смещение центра колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения d
ст=Р/с. Если Р – сила тяжести, то Т=2p
.
Затухающие колебания.
При действии R
x= – b
![clip_image006[2]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0062_thumb.gif "clip_image006[2]")
сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение).
, обозначив b/m=2n, получаем:
, характеристическое уравнение: z
2 + 2nz + k
2= 0, его корни:
z
1,2=
А) При n<k корни мнимые Þ общее решение дифференциальные уравнения имеет вид:
, обозначив С
1=Аsinb, C
2=Acosb Þ x=Ae
-ntsin(kt+b). Множитель e
-nt показывает, что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными относительно оси t кривыми x=±Ae
-nt.
Из начальных условий:
,
; частота затухающих колебаний: k
*=
; период:
, период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях Т
*»Т). Амплитуды колебаний уменьшаются:
– декремент колебаний; –nT
*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.
Б) Апериодическое движение точки при n ³ k или b ³ 2
. При n > k корни характеристич. уравнения вещественны, общее решение:
, обозначая С
1=(В
1+В
2)/2, С
2=(В
1-В
2)/2,
(ch, sh – гиперболические косинус и синус), если ввести В
1= Аshb, В
2= Аchb, то
– это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При n = k корни характеристич. уравнения вещественны, равны и отрицательны: z
1=z
2= – n, общее решение:
, или
, движение также апериодическое.
Если испытываете трудности в написании
контрольной работы по теоретической механике, оформите заявку и Вы узнаете сроки и стоимость работы.
; обозначив c/m=k2, получаем 
– линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение: z2 + k2= 0, его корни мнимые, Þ общее решение дифференциального уравнения будет x= C1coskt + C2sinkt, C1,C2 – постоянные интегрирования. Для их определения находим уравнение скоростей: 
= – kC1sinkt + kC2coskt, подставляем начальные условия в уравнения для х и ![clip_image006[1]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0061.gif "clip_image006[1]"){kind=small}
, откуда С1= х0, С2=
/k, т.е. x= х0coskt + (![clip_image008[1]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0081.gif "clip_image008[1]"){kind=small}
/k)sinkt.
Можно обозначить С1=Аsinb, C2=Acosb Þ x=Asin(kt+b) – уравнение гармонических колебаний. А=
–амплитуда, tgb=kx0/![clip_image008[2]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0082.gif "clip_image008[2]"){kind=small}
, b – начальная фаза свободных колебаний; 
– циклическая частота (угловая, собственная) колебаний; период: Т=2p/k=2p
, k и Т не зависят от начальных условий – изохронность колебаний; амплитуда и начальная фаза зависят о начальных условий. Под действием постоянной силы Р происходит смещение центра колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения dст=Р/с. Если Р – сила тяжести, то Т=2p
.
![clip_image006[2]](https://moscow-stud.com/wp-content/uploads/3c1114620d51_C9FE/clip_image0062.gif "clip_image006[2]"){kind=small}
сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение). 
, обозначив b/m=2n, получаем:
, характеристическое уравнение: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:
z1,2=
А) При n<k корни мнимые Þ общее решение дифференциальные уравнения имеет вид: 
, обозначив С1=Аsinb, C2=Acosb Þ x=Ae-ntsin(kt+b). Множитель e-nt показывает, что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными относительно оси t кривыми x=±Ae-nt.
Из начальных условий: 
, 
; частота затухающих колебаний: k*=
; период: 
, период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях Т*»Т). Амплитуды колебаний уменьшаются: 
– декремент колебаний; –nT*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.
Б) Апериодическое движение точки при n ³ k или b ³ 2
. При n > k корни характеристич. уравнения вещественны, общее решение: 
, обозначая С1=(В1+В2)/2, С2=(В1-В2)/2, 
(ch, sh – гиперболические косинус и синус), если ввести В1= Аshb, В2= Аchb, то 
– это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При n = k корни характеристич. уравнения вещественны, равны и отрицательны: z1=z2= – n, общее решение: 
, или 
, движение также апериодическое.
Если испытываете трудности в написании контрольной работы по теоретической механике, оформите заявку и Вы узнаете сроки и стоимость работы.