1. Главная
2. Полезные советы
3. Кручение тонкостенного стержня с замкнутым профилем.

Кручение тонкостенного стержня с замкнутым профилем.

Рассмотрим кручение стержня с поперечным сечением в форме тонкостенного замкнутого профиля (рис.7.16). В этом стержне, в отличие от открытого профиля, напряжения по толщине стенки распределяются равномерно. Выделим из этого стержня элементарный объём длиной dz, расстояние между точками 1 и 2 которого произвольное. Пусть толщина контура в точке 1 будет δ₁, а в точке 2 – δ₂. Обозначим соответственно через τ₁ и τ₂ напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях будут действовать парные напряжения . (Рис. 7.16) Составим для рассматриваемого элемента уравнение равновесия, спроектировав все силы на направление оси стержня . Из полученного равенства следует, что τδ = const, так как точки 1 и 2 взяты произвольно. Таким образом, произведение τδ по длине замкнутого контура является величиной постоянной. На участках с меньшей толщиной напряжения будут соответственно бòльшими. Выразим крутящий момент через напряжения τ. Для этого возьмём на контуре элементарную дугу длиной ds (рис. 7.17). Момент силы τ·δ·ds относительно произвольной точки О равен τδds|ОА|. Тогда  М_к = ∫. Так как τδ по длине дуги не изменяется, то получим  М_к = τδ ∫. Выражение представляет собой удвоенную площадь треугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура даёт удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через F^*. Таким образом,  М_к = τδ2F^*. наибольшее напряжение  . Для определения углового перемещения φ рассмотрим соотношение потенциальной энергии , выраженной через напряжения τ и выраженной через внешний момент М. Удельная потенциальная энергия при сдвиге определяется выражением  . Энергия, накопленная в элементарном объёме с размерами ds, z, δ равна  dU = . Это выражение необходимо проинтегрировать по длине стержня и по дуге замкнутого контура  U = . Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что  τδ = Получим  U = . Теперь эту же энергию найдём как работу внешнего момента М на угловом перемещении φ:  U= . Из равенства этих двух выражений находим  . Если толщина δ по дуге контура не меняется, то   где s - длина замкнутого контура. Для рассмотренного тонкостенного замкнутого профиля вводятся геометрические параметры W_k, I_k, которые согласно полученным формулам для вычислений напряжений углов поворотов определятся выражениями: . Теперь формулы для вычислений напряжений углов поворотов примут вид:  Если испытываете трудности в написании курсовой работы по сопротивлению материалов, оформите заявку и Вы узнаете сроки и стоимость работы. Цена - от 99 рублей.