1. Главная
2. Полезные советы
3. Метод средних величин и вариационный анализ

Метод средних величин и вариационный анализ

Для выражения типичных характерных размеров и количественных соотношений общественных явлений в статистике применяются средние величины. Средняя величина статистики подчинена социально-экономическому содержанию изучаемых явлений и обусловлена существующими между ними взаимосвязями. Статистические средние показывают характерные свойства общественных явлений, в абстрактной форме отражают количественно-определенные свойства общественных явлений и в среднем взаимоуничтожаются индивидуальные отклонения от общего уровня общественных явлений. В статистике применяются следующие виды средних величин: 1) среднее арифметическое; 2) среднее гармоническое; 3) среднее геометрическое; 4) среднее хронологическое; 5) среднее квадратическое.

Средняя арифметическая

Для исчисления средней арифметической берутся данные, группировка которых не производилась, то есть каждая единица совокупности встречается один раз или одинаковое число раз. где Х - числовое значение признака (варианта), n - число единиц в совокупности. Если отдельное значение признака повторяется неодинаковое число раз, то средняя определяется по формуле средней арифметической взвешенной: - число единиц в совокупности (частота). Например: 1) В бригаде 5 человек, заработная плата соответственно составила

	Зараб. плата
12 3 4 5	10001200 1500 1000 1300

Рассчитать среднюю заработную плату. 2) В бригаде 10 человек. Из них 2 получают 1000 рублей, 3 человека - 1500 рублей, 4 человека - 12000 рублей, 1 человек получает 2000 рублей. Определить среднюю заработную плату. В интервальном ряду распределения средняя арифметическая исчисляется по данным интервального ряда. Для этого интервальный ряд преобразуется в дискретный ряд путем определения середины интервала. Пример: Даны данные по выработке деталей. Рассчитать среднюю выработку на 1 человека.

Выработка деталей	Число рабочих, чел.
10-2015 20-40 30 40-60 50	210 10

Если первый и последний интервалы открытые, то допуская вариацию в них можно качественно определить среднее значение первого и последнего интервалов, применяя правило: среднее значение первого открытого интервала рассчитывается таким образом: из верхней границы первого интервала вычитают половину величины второго интервала. Среднее значение последнего открытого интервала определяется таким образом: к значению нижней границы последнего интервала прибавляется половина величины предыдущего интервала. Например: Дается распределение рабочих по стажу работы. Рассчитать средний стаж работы.

Стаж, лет	Число рабочих, чел.
До 5 лет5-10 10-15 15-20 более 20	58 10 5 2	2,57,5 12,5 17,5 22,5
Итого	30

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые имеют практическое значение для вычисления средней: 1) Величина средней не изменяется, если вес каждого варианты умножить или разделить на одно и то же число: Из этого свойства вытекают два следствия: ● если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней; ● в качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать относительные показатели. 2) Сумма отклонений вариант от средней арифметической равна нулю. Это свойство означает, что в средней арифметической взаимно уничтожаются отклонения вариант в ту или другую сторону. 3) Если все варианты признака увеличить или уменьшить на одно и тоже число или в одно и тоже число раз, то изменится также и средняя.   Средняя гармоническая 1 рабочий - 2 минуты 2 рабочий - 6 минут 15 деталей 240 деталей 120 деталей 30 деталей=240 320 деталей 10 деталей=80 Средняя гармоническая величина рассчитывается при определении средней трудоемкости единицы, выпускаемой продукции, средний процент брака и выполнения плана, среднего периода оборота оборотных средств, среднего расхода топлива на единицу продукции, среднего срока службы механизма и расчета прочих средних показателей, являющихся обратными для экономических показателей. , x - варианта, значение изучаемого признака; W - веса средней гармонической (частота) Пример: Определить средний процент выполнения плана по продукции.

% выполнения плана	Объем продукции
100101 98,5 итого	800950 1150 2900

Средняя геометрическая рассчитывается для определения среднего коэффициента роста в рядах динамики. , где m=n-1, n-число единиц совокупности k1,k2,kn - относительные показатели динамики, рассчитанные по цепному методу. Пример: Вывозка древесины по области характеризуется следующими данными

Год	Объем вывозки, млн. м3
19971998 1999 2000	357358,2 355,9 357

Средняя квадратическая определяется для расчета среднего значения геометрических фигур. Она бывает как простая, так и взвешенная. ; Пример: В леспромхозе в группу отведены 4 делянги. Длина сторон 1-260 м, 2-180 м,3-250 м, 4-300м. Определить среднюю площадь делянги. Средняя хронологическая применяется в тех случаях, когда рассчитывается средний уровень показателя за отрезок времени, и сведения о показателях представлены на определенную дату. Средняя хронологическая простая применяется, когда отрезки времени между датами одинаковые Если отрезки времени неодинаковы, то рассчитывается средняя хронологическая взвешенная где t-объем интервала (отрезка времени между значениями признака). Пример: Определить средние квартальные остатки оборотных средств 1.01 - 600 1.02 -570 1.03 -650 1.04 -520 1.05 -500 Рассчитать средний остаток денежных средств на расчетном счете за месяц, если на 1.12 - 200р. 5.12 - 300р. 19.12 - 100р. 27.12 - 50р.

Вариационный анализ

Вариация – различие значений признака у отдельных единиц совокупности в один и тот же период ли момент времени. Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих этапов: 1) Построение вариационного ряда. 2) Графическое изображение ряда. 3) Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик ряда. 4) Расчет показателей размера и интенсивности вариаций. 5) Оценка ряда на ассимметрию и эксцесс. Структурная характеристика ряда дается путем расчета моды и медианы. Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

оценка	кол-во чел.
2	5
3	10
4	12
5	13

Мо = 4 Мо в интервальном ряду определяется по следующей формуле: о= где Х_mo – нижняя граница модального интервала, I_mo – величина модального интервала, ƒ_mo-1, ƒ_mo, ƒ_mo+1 – частоты домодального, модального и послемодального интервалов. Медиана – это вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, то есть выше и ниже которого имеется одинаковое количество частот. В дискретном ряду, в случае, если ряд содержит нечетное число членов, то медиана равна средней арифметической из вариант, расположенных посередине. Если дискретный ряд характеризуется неодинаковым количеством частот, то медиана определяется по сумме накопленных частот.

Зар. плата рабочих	Число рабочих	Сумма накопленных частот
100	2	2
1200	6	2+6=8
1500	16	24
1700	12	36
2000	4	40
итого	40

В интервальном ряду медиана определяется по следующей формуле: где Х_me – нижняя граница медианного интервала, i – величина медианного интервала, Σƒ – сумма частот вариационного ряда, S_me-1– сумма накопленных частот в домедианном интервале. Расчет моды и медианы для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по аналогичным формулам, но вместо показателя частот берется показатель плотности: ƒ– частота, i – величина интервала. Например: дается распределение предприятий по среднесписочной численности рабочих.

Среднесписочное число человек	Число предприятий	Сумма накопленных частот
100-200	1	1
200-300	3	4
300-400	7	11
400-500	30	41
500-600	19	60
600-700	15	75
700-800	5	80
Итого	80

Мо = 400-500

Наибольшая частота = 30 2. К показателям, характеризующим размер вариации относят: 1) Размах вариации R=Xmax-Xmin – разница между максимальным и минимальным значением совокупности. 2) Среднее линейное отклонение X_i– i-тое значение признака в совокупности, n – число единиц в совокупности 3) Дисперсия --среднее 4) Среднее квадратическое отклонение σ= При расчете дисперсии возможно применять способ моментов. По способу моментов дисперсия рассчитывается по след. формуле: X_i²-средний квадрат значения признака в совокупности. Показатели размера вариации дают ответ об уровне засоренности в совокупности. З должна быть≤1,25. Если З>1, 25, то совокупность считается засоренной. К показателям интенсивности вариации относят коэффициент вариации: V= По размаху вариации судят об однородности совокупности. Если V<30%, то совокупность однородная, если 30% ≤ V ≥ 60%, совокупность средняя, если V > 60%, то совокупность неоднородная. В том случае, если данные ряда распределения представлены в виде аналитической группировки, рассчитывается общая межгрупповая и внутригрупповые дисперсии. Общая дисперсия определяет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, то есть различия в величине изучаемого признака, возникающего под влиянием признака фактора, положенного в основании группировки. , где X_i и n_i – средние величины численности по отдельным группам. Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, то есть вариацию, происходящую под влиянием неучтенных факторов. На основании внутригрупповой дисперсии рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий: Правило сложения дисперсий: Например, имеются данные о дневной выработке рабочих второго и третьего разряда. Рассчитать внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии и проверить расчеты по правилу сложения дисперсий.

Второй разряд	Третий разряд
W(X)	X²i	W(X2)	X²2
3,2	10,24	3,9	15,21
4,2	17,64
3,5	12,25	4,8	23,04
5,1	26,01
4,5	20,25	5,4	29,16
6,6	43,56
4,8	23,04
16	65,78	30	154,62

3. Оценка характера распределения предполагает не только оценку однородности, но и оценку симметричности. Симметричным называют распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра, равны между собой. Степень ассиметричности характеризует коэффициент ассиметрии: При нормальном распределении коэффициент ассиметрии равен 0, если коэффициент ассиметрии больше 0, то в наличии правосторонняя ассиметрия, если меньше 0, то левосторонняя ассиметрия. В целом коэффициент ассиметрии может изменяться от –3 до +3. -3≤≥3 Если коэффициент ассиметрии показывает нормальное распределение Момент четвертого порядка: Если Es>0, то распределение островершиное, если Es<0, то плосковершинное. Если испытываете трудности в написании курсовой работы по статистике, оформите заявку и Вы узнаете сроки и стоимость работы. Цена - от 99 рублей.