1. Главная
2. Полезные советы
3. Моменты инерции в динамике.

Моменты инерции в динамике.

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси: mh². Момент инерции тела (системы) относительно оси Оz: J_z= åm_kh_k². При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: J_x= ò(y²+z²)dm; J_y= ò(z²+x²)dm; J_z= ò(x²+y²)dm – относительно координатных осей. J_z= M×r², r – радиус инерции тела – расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела. Момент инерции относительно оси (осевой момент инерции) всегда >0. Полярный момент инерции J_o= ò( x²+y²+z²)dm; J_x+J_y+J_z= 2J_o.

Центробежный момент инерции

Центробежный момент инерции J_xy для материальной точки называется произведение ее координат x и y на ее массу m. Для тела центробежными моментами инерции называются величины, определяемые равенствами: J_xy=òxy dm; J_yz=òyz dm; J_zx=òzx dm. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. J_xy=J_yx и т.д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль. Главной осью инерции тела называется ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если J_xz=J_yz=0, то ось z – главная ось инерции. Главной центральной осью инерции называется главная ось инерции, проходящая через центр масс тела. 1) Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки, в которой ось пересекает плоскость. 2) Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела (ось динамической симметрии). Размерность всех моментов инерции [кгм²] Центробежный момент инерции зависят не только от направления координатных осей, но и от выбора начала координат. Тензор инерции в данной точке: Моменты инерции некоторых однородных тел: стержень массы m и длины L: ; . Однородный сплошной диск с центром в точке С радиуса R и массы m: . Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): .

Теорема Штейнера

По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:  Наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс. Момент инерции относительно произвольной оси L: J = J_xcos²a + J_ycos²b + J_zcos²g – 2J_xycosacosb – 2J_yzcosbcosg – 2J_zxcosgcosa, если координатные оси являются главными относительно своего начала, то: J = J_xcos²a + J_ycos²b + J_zcos²g. Если испытываете трудности в написании курсовой работы по теоретической механике, оформите заявку и Вы узнаете сроки и стоимость работы.