1. Главная
2. Полезные советы
3. Статистический анализ вариационных (интервальных) данных

Статистический анализ вариационных (интервальных) данных

Совокупность значений изучаемого признака с указанием числа их различных значений называется распределением признака. Распределение представляют в форме вариационного ряда. В соотношении значений признака (вариантов) и числа единиц (частот) проявляется закономерность распределения. Она описывается различными статистическими показателями в частности: · частотные показатели; · показатели центра распределения; · показатели степени вариации; · показатели формы распределения. Частотными показателями любого ряда распределения являются абсолютная численность i- и группы — частота f_iи относительная частота — частость d_i, где , а , или 100%. Кумулятивная (накопленная) частота S_i (частость S_d) характеризует объем совокупности со значениями вариантов, не превышающих X_i,. Кумулятивные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных или относительных частот, например: S₁=f_i; S₂=f₁+f₂; S₃=f₁+f₂+f₃ и т. д. Плотность частоты (частости) представляет собой частоту, приходящуюся на единицу интервала, т.е. q_i=f_i/h_iили q_i=d_i/h_i, где h_i, - величина i-го интервала. Данный показатель используют, если интервалы вариационного ряда неравные и необходимо графически изобразить этот ряд в виде гистограммы, а так же при расчете моды. Показатели центра распределения. К показателям центра распределения относят среднюю, моду и медиану. Средняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности. По данным вариационного ряда распределения средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная: · на основе частот: · на основе частостей Если используется интервальный ряд распределения то, допуская, что распределение в границах i-го интервала является равномерным, как вариант х_i, - используют середину интервала (х'). При этом величину открытого интервала условно считают такой же, как и величину соседнего закрытого интервала. Пример. Провести анализ данных о результатах деятельности предприятия по оказанию услуг. В таблице 5.1 приводится данные о частоте с которой встречается дневная реализация в соответствующем диапазоне. Таблица 5.1 Результаты деятельности предприятии по оказанию услуг населению

Возраст оборудования, тас.руб	Количество дней (fi)	Середина интервала хi	хifi	Накопленная частота, Si	[xi-xср]	[xi-xср]*fi	[xi-xср]2 *fi	(xi-xср)3 *fi	(xi-xср)4 *fi
До 5	10	2,5	25	10	11,2	112,0	1254,4	-14049	157351
5 – 10	19	7,5	142,5	29	6,2	117,8	730,4	-4528,2	28075
10 – 15	30	12,5	375	59	1,2	36,0	43,2	-51,8	62,2
15 – 20	24	17,5	420	83	3,8	91,2	346,6	1316,9	5004,3
20 - 25	12	22,5	270	95	8,8	105,6	929,3	8177,7	71963,4
25 - 30	5	27,5	137,5	100	13,8	69,0	952,2	13140	181337
å	100	-	1370			531,6	4256,0	4005,6	443793

Внимание! В контрольных заданиях, исходные данные могут задаваться в виде величины дневной реализации, см. табл. 5.2 и рис. 5.1. В этом случае необходимо преобразовать исходные данные в частотные. Для этого необходимо провести группировку (см. выше) исходных данных с равными группировочными интервалами. В ниже приведенном примере, интервал принимается равным 0,4 тыс. руб., а весь диапазон разбивается на 10 групп (то есть необходимо сощитать количество дней, в которые реализация находилась в заданных границах). Таблица 5.2 Динамика оказание услуг по четырем месяцам, тыс.руб.

День	№ декады
1	2	3	4	5	6	7	8	8	10	11	12
1	5,29	4,86	4,60	5,07	4,58	4,22	5,22	5,01	5,34	5,76	5,97	4,40
2	5,66	5,88	4,79	4,78	4,40	5,47	4,80	4,40	4,82	4,75	5,27	5,31
3	4,80	4,15	4,70	4,95	5,05	4,49	4,63	4,73	5,10	4,81	4,27	5,58
4	5,52	5,67	5,03	5,44	4,82	4,93	4,83	4,76	5,27	4,30	5,64	5,79
5	5,89	6,16	4,05	5,18	4,78	5,36	4,86	4,89	5,32	5,39	4,68	4,75
6	6,03	4,41	5,68	5,33	5,07	5,23	4,35	5,24	4,99	4,12	4,47	5,49
7	5,11	5,67	4,39	4,86	5,19	5,01	5,80	5,09	5,61	5,25	5,13	5,56
8	4,35	5,22	4,81	5,41	5,80	4,91	4,52	4,51	5,13	4,95	4,85	6,24
9	4,57	4,99	4,96	4,96	4,75	5,19	5,21	4,19	5,12	4,92	5,23	4,79
10	5,22	5,34	4,27	5,08	4,12	5,52	5,47	5,18	4,61	5,42	4,53	4,97

Рис. 5.1 Динамика продаж услуги, тыс.руб. В результате исходные данные преобразуются в частотный вид см. табл. 5.3. Таблица 5.3 Частотная интерпретация исходных данных

Возраст оборудования, тыс.руб	Количество дней (fi)	Середина интервала хi
7,3 – 7,7	8	7,5
7,7 -8,1	11	7,9
8,1 – 8,5	10	8,3
8,5 – 8,9	24	8,7
8,9 – 9,3	21	9,1
9,3 -9,7	21	9,5
9,7 – 10,1	11	9,9
10,1- 10,4	10	10,3
10,4 – 10,8	3	10,6
10,8 -11,2	3	11

На основании таблицы построена гистограмма, рис. 5.2. Рис. 5.2 Гистограмма распределения частот дневных выручек Следует иметь ввиду, что самый быстрый способ преобразования временного ряда в частотный использования пакета Statistica. Для этого исходные данные копируются в пакет, а затем нажимая кнопку «Граф» в выпавшем меню выбирается оция «Гистограмма» и в ней определяется число групп («Категория» в нашем случае 10), «Тип графика» Обычный «Variables» (Данные) – соответствующий столбец с данными. OK. В построенной гистограмме можно поставить значение частот для этого при нахождении курсора гистограмме в меню вызванном правой клавишей выбирает опцию «Метки точки» кликнуть на окне «Показать метки»и кликнуть на окне «Счет». Решение Средне дневная реализация определяется x_ср=∑(x_i*f_i)/∑f_i = 1370/100=13,7 тыс.руб. Мода (Мо) — значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость). В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости. В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальные интервал (например, по данным таблицы наибольшая частота f_max= 30 %, а модальный интервал Мо=10-15 тыс.руб.), а конкретное значение моды в модальном интервале определяется: , где x_oиh –соответственно нижняя граница и величина модального интервала (например, по данным таблицы x_o=10 тыс.руб, аh=(20-15)=5 тыс.руб., см. рис. 3.3); f_M0 – частота (частность) модального интервала (по данным таблицы f_M0 =30%,f_Mo-1=19% f_Mo+1=24% соответственно значение моды: Mo=10+5(30-19)/[(30-19)+(30-24)]=13.24 тыс.руб.). Медиана (Ме) — значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части. Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами. Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы: N=(n+1)/2 (в нашем случае N=(100+1)/2=50.5%, см. рис. 5.4). Затем по накопленным (кумулятивным) частотам S_i дискретного ряда определяется медиальный интервал (в нашем случае интервал совпадает с модальным интервалом (такое совпадение не всегда обязательно, но встречается часто) это 10 – 15 тыс.руб, поскольку ближайшая большая 50% накопленная частота S_i = 59%). Рис. 5.3. Гистограмма и полигон В дискретном ряду распределения медианы находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы. В случае интервального (вариационного) ряда распределения конкретного значение медианы вычисляется по формуле: где x_oиh –соответственно нижняя граница и величина медианного интервала (по данным таблицы x_o=10 тыс.руб., аh=(15-10)=5 тыс.руб.); f_Me– частота (частность) медианного интервала (по данным таблицы f_Me=30%); S_Me-1 – накопленная частота предмедиального интервала (S_Me-1= 29%). Значение медианы для примера из таблицы Ме=10+5(50-29)/30=13,5 тыс.руб. Откуда можно заключить, что половина всего оборудование имеет возраст не более 13,5 тыс.руб. или половина всего оборудования имеет возраст больше 13,5 тыс.руб. В симметричных рядах распределение значения моды и медианы совпадают со вредней величиной , а в умеренно асимметричных рядах они соотносятся: . Кроме медианы в анализе закономерностей распределения используются также квартели и децели, при расчете которых в формуле расчета медиального значения Ме множитель ½ заменяется на 0,25 и 0,1 соответственно. Показатели степени вариации и способы их расчета. Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные характеристики. Наиболее поверхностная оценка рассеяния (вариации) совокупности распределения определяется с помощью вариационного размаха R, который показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака: R=x_max-x_min. Рис. 5.4. Кумулята Среднее линейное отклонение является обобщающей мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. Она дает абсолютную меру вариации. Для интервальных (вариационных) рядов взвешенная средняя определяется: Для приведенного выше примера - =531,6/100=5,32 тыс.руб. Дисперсия (s)² — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, а также для проверки статистических гипотез. Для приведенного выше примера - =4256/100=42,56. Среднее квадратическое отклонение - s представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней, т.е. оно исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии и измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак. Для приведенного выше примера - =6 тыс.руб. Коэффициент осцилляции: Для приведенного выше примера - =182,48%. Линейный коэффициент вариации: Для приведенного выше примера - = 36,5%. Коэффициент вариации: Для приведенного выше примера = 43,8 %. Показатели асимметрии и эксцесса. Симметричным называется распределение у которого частоты равноотстоящие от моды равны между собой, следовательно выполняется соотношение =Мо=Ме. Соответственно наиболее простой мерой асимметрии является (x_ср-Мо). Коэффициент асимметрии Пирсона: При К_а>0 скошенность ряда правосторонняя (т.е. >Mo), при К_а<0 скошенность ряда левосторонняя (т.е. <Mo). В нашем примере К_а=0,08 и следовательно ряд характеризуется правосторонней незначительной асимметрией. Нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка. Часто используется в прикладных расчетах. Коэффициент не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, так как является отвлеченной величиной и определяется по формуле: , где - центральный момент третьего порядка и определяется: Для случая из таблицы 4 нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка будет равен А₃=412,64/216 =1,91. Нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка. Используется для определения «крутизны» («заостренности») графика распределения частот. Определяется по формуле: , где - центральный момент третьего порядка и определяется: При нормальном распределении А₄=3. Для измерении асимметрии эталоном служит симметричное (нормальное) распределение, для которого А₃=0. Для случая из таблицы 4 нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка будет равен А₄=3,42. Показатель эксцесса распределения: . При Е_k>0 распределение островершинное, при Е_k <0 – плосковершинное. В нашем примере Е_k=(3,42-3)=0,42 и следовательно ряд островершинный.